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Table of Contents:
Vorwort i  
1  Integrale mit Parametern 1  
1.1  Differentation unter dem Integral 2  
1.2  Vertauschung der Reihefolge der Integration in Doppelintegralen 3  
1.3  Integrale mit variablen Grenzen 4  
1.4  Uneigentliche Integrale mit Paramter 5  
1.5  Die Laplace Transformation 7  
1.5.1  Die Laplace-Transformation der Ableitung 9  
2  Mehrfachintegrale 11  
2.1  Integral für eingeschränkte Funktionenklasse 11  
2.1.1  Eine Charakterisierung des Integrals 14  
2.1.2  Transformationsformel des Mehrfachintegrals unter linearen Abbildungen 15  
2.2  Erweiterung der Klasse der integrierbaren Funktionen 17  
2.2.1  Vertauschung der Integrationsreihenfolge 19  
2.2.2  Anwendung: Das Cavalierische Prinzip 20  
2.3  Formulierung der allgemeinen Transformationsformel für Ge­biets­in­te­grale 21  
3  Integralsätze in der Ebene 25  
3.1  Integrabilitätskriterium 26  
3.2  Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und der Cauchy Integralsatz 29  
3.2.1  Der Integralsatz von Cauchy 31  
4  Flächen im Raum und Oberflächenintegrale 35  
4.1  Darstellungarten für Flächen 35  
4.1.1  Regularitätsbedingung 37  
4.1.2  Geometrische Bedeutung 37  
4.2  Die Größenmessung von krummen Flächen 39  
4.2.1  Invarianz des Flächeninhalts gegenüber orthogonalen Transformationen \(A\) des \(\mathbb{R}^3\) 41  
4.2.2  Invarianz des Flächenmaßes gegenüber Parameter Transformationen 41  
4.3  Der Gaußsche Satz 42  
4.4  Differentialgeometrische Interpretation des Gaußschen Satzes 45  
4.5  Der Stokes’sche Integralsatz 47  
5  Quadratische Matrizen und Determinanten 49  
5.1  Charakteristische Eigenschaften der Determinante 51  
5.1.1  Rechenregeln 53  
5.2  Produktsatz für Determinanten 54  
5.2.1  Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenumformungen 55  
5.2.2  Regeln für Zeilenumformungen 56  
5.2.3  Die Adjunkte einer Matrix \(A \in M_{n}(K)\) 56  
5.2.4  Die inverse Matrix 57  
6  Vektorräume, lineare Selbstabbildungen, Eigenwerte 61  
6.1  Vektorraum Axiome 61  
6.1.1  Linearkombinationen 62  
6.1.2  Austauschsatz von Steinitz 63  
6.2  Unterräume und Dimensionsformel 64  
6.3  Eigenwerte und Eigenvektoren 66  
6.4  Euklidische und unitäre Skalarprodukte 70  
6.4.1  Orthonomierungssatz 71  
6.4.2  Hauptachsentransformation 73  
7  Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten 79  
7.1  Differentialgleichung des Wachstums und Zerfalls 79  
7.1.1  Die zugehörige inhomogene Differentialgleichung 80  
7.2  Differenzialgleichung der gedämpften Schwingung 80  
7.2.1  Die zugehörige inhomogene lineare Differentialgleichung 84  
7.2.2  Umschreibung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung 85  
7.3  Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 87  
7.3.1  Ansatz der Picard-Iteration 87  
7.4  Matrixnormen 88  
7.4.1  Exponentialfunktion auf \(M_{n}(\mathbb{K})\) 90  
7.5  Die allgemeine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung in \(\mathbb{K}^n\) 92  
7.6  Die Jordansche Normalform für Matrizen in \(M_{n}(\mathbb{C})\) 94  
7.7  Skalarwertige lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 96  
7.8  Stabilitätsfragen 98  
7.8.1  Stabilitätskriterium für reelle Polynome 100  
7.9  Anwendungen der Laplacetransformation 101  
8  Existenz- und Eindeutigkeitssatz für explizite gewöhnliche Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen 107  
8.1  Die Lipschitzbedingung 108  
8.1.1  Definition der Lipschitzbedingung 109  
8.1.2  Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten 110  
8.2  Existenzsatz von Picard und Lindelöf 111  
8.2.1  Das Runge-Kutta Verfahren 114  
8.2.2  Simpsonsche Regel 114  
8.2.3  Der Potenzreihenansatz 115  
8.3  Gewöhnliche Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung 116  
8.3.1  Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten 117  
8.3.2  Der Fall minimaler Dimension \(n = 1\) 119  

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